利用Hopfield网络进行优化

优化是利用成本函数和能量函数的相似性，使设计、环境、资源和系统等尽可能高效的过程。其中一种类型的神经网络被称为Hopfield网络，它由包含至少一个完全连接的循环神经网络的单层组成。它可以用于优化。

使用Hopfield网络优化时要记住的事情

• 网络中的能量函数应最小。
• 它将能够找到一个令人满意的解决方案，而不是选择存储的模式之一。
• Hopfield网络所揭示的解决方案的有效性主要依赖于网络中最初出现的状态。

旅行推销员问题

找到销售人员采取的最有效的路线是可以通过使用Hopfield神经网络来改进的计算挑战之一。

TSP的基本概念

旅行推销员问题TSP是一个经典的优化问题，在这个问题中，销售人员必须在许多相互连接的城市旅行，并保持成本。行进的距离是最小的。例如，销售人员必须经过一组四个城市，a、B、C和D。目标是确定最有效的循环路线，a -B-C-D，以降低成本，其中包括从城市D到下一个城市a的旅行成本。

矩阵表示

TSP对n个城市的每一次旅行都可以描述为一个矩阵n x n，其中第i行标识每个城市的位置。A、B、C、D四个城市的矩阵M可以表示为:

Hopfield网络解决方案

当使用Hopfield网络分析TSP的解决方案时，网络中的每个节点都连接到矩阵的特定元素。

能量函数计算

为了得到最优结果的最优解，能量函数应尽可能低。基于上述约束条件，我们可以用以下公式确定能量的函数:——

Constraint-I

在此基础上，我们计算能量函数的第一个约束条件是，矩阵M的每一行中必须有一个分量至少为1，并且每一行中的所有其他元素不得大于0，因为每个城市可能只出现在TSP旅程中的一个位置。这个约束可以用数学表示为:

基于上述约束，现在，我们将最小化能量函数，它将包含正比于:

Constraint-II

我们都知道，在TSP中，一个城市可以在行程中的任何位置找到。因此，在M的每一列中，每个元素都必须等于1，而其他元素必须等于0。这个限制在数学上可以表示为:

基于上述约束，现在，我们将最小化能量函数，它将包含正比于:

成本函数计算

假设用C表示的方阵(n x n)是TSP在n个城市中的成本矩阵，其中n大于。下面是计算成本函数时需要考虑的一些参数

• C_{x, y}：成本矩阵的分量是指从一个城市到另一个城市的旅行成本。
• 下面的关系说明了A和B这两个元素之间的关系。

我们知道，在矩阵中，可以确定每个节点的输出值为1或0，因此对于每个城市对A和B，我们可以为幂函数包含以下单词。

根据上面的代价函数，加上能量相关计算函数的约束端值，E可以描述为:

这里，γ1和γ2是两个称重常数。